Vnitřní dotyk kružnic, bod na menší
Počet řešení: 1
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Zvolíme řídicí kružnici kruhové inverze. Jako její střed volíme tečný bod obou zadaných kružnic.
- Zadané objekty zobrazíme v kruhové inverzi. Protože tečný bod leží na zadaných kružnicích, zobrazí se obě kružnice jako přímky.
- Najdeme kružnici dotýkající se obrazů kružnic a procházející obrazem zadaného bodu. Pro nalezení jejího středu použijeme například množiny bodů daných vlastností. Tato kružnice je obrazem kružnice řešení.
- Nalezený obraz kružnice řešení zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
- Úloha má jedno řešení.
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Nalezneme středy zadaných kružnic
- První množina bodů je přímka h obsahující zadaný bod A a střed menší kružnice S2
- Narýsujeme přímku g obsahující zadaný bod A a střed větší kružnice S1
- Nalezneme průsečíky s přímky g a větší kružnice a pojmenujeme ho D
- Narýsujeme bod F v polovině přímky AD
- Zkonstruujeme elipsu s ohnisky v bodě A a S1
- Nalezneme průsečík elipsy a přímky h, který není bod S2 a pojmenujeme ho G
- Narýsujeme kružnici k se středem G procházející bodem A
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Narýsujeme si libovolnou kružnici se středem v zadaném bodě.
- Provedeme kruhovou inverzi obou kružnic, zadaný bod se promítá do nekonečna.
- Nyní hledáme přímku, která je tečnou invertované kružnice. Ta se totiž dotýká kružnice a bod a druhou kružnici protíná v nekonečnu. Můžeme tak udělat přes kolmici na invertovanou přímku procházející středem invertované kružnice.
- Na nalezenou přímku provedeme kruhovou inverzi. To je řešení.
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Kružnice řešení se bude dotýkat vnitřní zadané kružnice v zadaném bodě. Středy všech takových kružnic leží na přímce procházející zadaným bodem a středem zadané kružnice.
- Tečna zadané kružnice v zadaném bodě bude rovněž tečnou kružnice řešení.
- Existuje stejnolehlost, ve které je vnější zadaná kružnice obrazem kružnice řešení. Středem stejnolehlosti je tečný bod mezi těmito dvěma kružnicemi. Tečna kružnice řešení se zobrazuje jako rovnoběžná tečna zadané kružnice.
- Ve stejnolehlosti se tečný bod zobrazuje do tečného bodu. Přímka procházející oběma tečnými body prochází i středem stejnolehlosti, kterým je průsečík této přímky s vnější zadanou kružnicí.
- Nalezený střed stejnolehlosti je rovněž tečným bodem mezi zadanou kružnicí a kružnicí řešení. Tím máme dva body ležící na hledané kružnici. Její střed proto bude ležet na ose mezi těmito dvěma body.
- Střed kružnice řešení leží v průsečíku osy a přímky z bodu 1.
- Úloha má jedno řešení.