Vnitřní dotyk kružnic, bod na větší
Počet řešení: 1
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Zvolíme řídicí kružnici kruhové inverze. Jako její střed volíme tečný bod obou zadaných kružnic.
- Zadané objekty zobrazíme v kruhové inverzi. Protože tečný bod leží na zadaných kružnicích, zobrazí se obě kružnice jako přímky.
- Najdeme kružnici dotýkající se obrazů kružnic a procházející obrazem zadaného bodu. Pro nalezení jejího středu použijeme například množiny bodů daných vlastností. Tato kružnice je obrazem kružnice řešení.
- Nalezený obraz kružnice řešení zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
- Úloha má jedno řešení.
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Představme si kružnici, která je řešením úlohy. Pokud se tato kružnice zvětší o poloměr menší z obou zadaných kružnic, menší zadaná kružnice se zmenší na bod a větší se zvětší o poloměr menší kružnice. Zadaný bod se posune tak, aby zůstal na větší kružnici a zároveň v dotyku se zvětšenou kružnicí řešení.
- Střed kružnice řešení musí ležet na ose úsečky A'S2.
- Zároveň musí ležet na přímce dané středem větší kružnice a zadaného bodu. Najdeme ho proto na průsečíku této přímky a osy z předešlého bodu.
- Úloha má jedno řešení.
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Středy všech kružnic, které se dotýkají vnější zadané kružnice v zadaném bodě, leží na přímce procházející zadaným bodem a středem kružnice.
- Najdeme středy kružnic dotýkajících se vnitřní zadané kružnice a procházející zadaným bodem. Středy těchto kružnic budou ležet na hyperbole. Ohnisky hyperboly jsou střed zadané kružnice a zadaný bod. K jejímu narýsování potřebujeme znát alespoň jeden její bod. Narýsujeme přímku procházející středem zadané kružnice a zadaným bodem a najdeme průsečík této přímky s kružnicí. Střed úsečky dané nalezeným průsečíkem a zadaným bodem je vrchol hledané hyperboly.
- Narýsujeme hyperbolu s ohnisky ve středu zadané kružnice a zadaném bodu a procházející nalezeným vrcholem.
- Střed kružnice řešení leží v průsečíku nalezené přímky a hyperboly.
- Úloha má jedno řešení.
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Narýsujeme si libovolnou kružnici se středem v zadaném bodě.
- Provedeme kruhovou inverzi obou kružnic, zadaný bod se promítá do nekonečna.
- Nyní hledáme přímku, která je tečnou invertované kružnice. Ta se totiž dotýká kružnice a bod a druhou kružnici protíná v nekonečnu. Můžeme tak udělat přes kolmici na invertovanou přímku procházející středem invertované kružnice.
- Na nalezenou přímku provedeme kruhovou inverzi. To je řešení.
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Kružnice řešení se bude dotýkat vnější zadané kružnice v zadaném bodě. Středy všech takových kružnic leží na přímce procházející zadaným bodem a středem zadané kružnice.
- Tečna zadané kružnice v zadaném bodě bude rovněž tečnou kružnice řešení.
- Existuje stejnolehlost, ve které je vnitřní zadaná kružnice obrazem kružnice řešení. Středem stejnolehlosti je tečný bod mezi těmito dvěma kružnicemi. Tečna kružnice řešení se zobrazuje jako rovnoběžná tečna zadané kružnice.
- Ve stejnolehlosti se tečný bod zobrazuje do tečného bodu. Přímka procházející oběma tečnými body prochází i středem stejnolehlosti, kterým je průsečík této přímky s vnitřní zadanou kružnicí.
- Nalezený střed stejnolehlosti je rovněž tečným bodem mezi zadanou kružnicí a kružnicí řešení. Tím máme dva body ležící na hledané kružnici. Její střed proto bude ležet na ose mezi těmito dvěma body.
- Střed kružnice řešení leží v průsečíku osy a přímky z bodu 1.
- Úloha má jedno řešení.