Dvě protínající se kružnice, bod leží na kružnici uvnitř druhé kružnice

Počet řešení: 2

Zvolíme řídicí kružnici kruhové inverze. Jako její střed volíme průsečík obou kružnic.
Zadané objekty zobrazíme v kruhové inverzi. Protože obě kružnice prochází středem řídicí kružnice, zobrazí se jako přímky.
V zobrazení řešíme Apolloniovu úlohu pro dvě různoběžné přímky a bod ležící na jedné z nich. Vyřešíme ji třeba pomocí množin bodů daných vlastností. Nalezli jsme dvě řešení, která jsou obrazem kružnic řešení původní úlohy.
Nalezené kružnice zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
Úloha má dvě řešení.

Kružnice řešení se budou dotýkat obou zadaných kružnic. Jejich středy proto leží na hyperbole nebo elipse, jejichž ohnisky jsou středy zadaných kružnic. Hyperbola a elipsa prochází průsečíky obou zadaných kružnic.
Středy kružnic, které se dotýkají zadané kružnice a bodu, leží na přímce procházející středem kružnice a zadaným bodem.
Středy kružnic řešení leží v průsečících hyperboly, elipsy a přímky. Ne každý jejich průsečík je však středem kružnice řešení – jsou to pouze ty průsečíky, pro něž typ dotyku (vnější nebo vnitřní) ke společné kružnici odpovídá na obou křivkách.
Úloha má dvě řešení.

Zvolíme řídící kružnici kruhové inverze tak, aby její střed byl v zadaném bodě.
Obě zadané kružnice zobrazíme v kruhové inverzi. Jedna kružnice se zobrazí jako kružnice, druhá jako přímka.
Ve zvolené kruhové inverzi se kružnice řešení zobrazují jako tečny zobrazené kružnice, rovnoběžné k přímce, která je obrazem druhé kružnice.
Nalezené tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
Úloha má dvě řešení.

Kružnice řešení se bude dotýkat jedné zadané kružnice v zadaném bodě, který na ní leží. Středy všech takových kružnic leží na přímce procházející zadaným bodem a středem zadané kružnice.
Tečna této zadané kružnice v zadaném bodě bude rovněž tečnou kružnic řešení.
Existují dvě stejnolehlosti, ve kterých je druhá zadaná kružnice obrazem kružnic řešení. Středem stejnolehlostí jsou tečné body mezi těmito kružnicemi. Tečna kružnice řešení se zobrazuje jako rovnoběžné tečny zadané kružnice.
Ve stejnolehlostech se tečný bod zobrazuje do tečných bodů. Přímky procházející tečnými body prochází i středy stejnolehlostí, kterým jsou průsečíky těchto přímek se zadanou kružnicí.
Nalezené středy stejnolehlostí jsou rovněž tečnými body mezi zadanou kružnicí a kružnicemi řešení. Tím máme pro každou kružnici řešení dva její body. Jejich středy budou ležet na osách mezi těmito body.
Středy kružnic řešení leží v průsečících os a přímky z bodu 1.
Úloha má dvě řešení.

Kruhová inverze