Dvě protínající se kružnice, bod leží uvnitř obou

Počet řešení: 2

Zvolíme řídicí kružnici kruhové inverze. Jako její střed volíme průsečík obou kružnic.
Zadané objekty zobrazíme v kruhové inverzi. Protože obě kružnice prochází středem řídicí kružnice, zobrazí se jako přímky.
V zobrazení řešíme Apolloniovu úlohu pro dvě různoběžné přímky a bod. Vyřešíme ji třeba pomocí stejnolehlosti. Nalezli jsme dvě řešení, která jsou obrazem kružnic řešení původní úlohy.
Nalezené kružnice zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
Úloha má dvě řešení.

Najdeme středy kružnic dotýkajících se jedné ze zadaných kružnic a procházející zadaným bodem. Středy těchto kružnic budou ležet na elipse. Ohnisky elipsy jsou střed zadané kružnice a zadaný bod. K jejímu narýsování potřebujeme znát alespoň jeden její bod. Narýsujeme přímku procházející středem zadané kružnice a zadaným bodem a najdeme průsečíky této přímky s kružnicí. Středy úseček daných nalezenými průsečíky a zadaným bodem jsou vrcholy elipsy.
Narýsujeme elipsu s ohnisky ve středu zadané kružnice a zadaném bodě a procházející nalezenými vrcholy.
Středy kružnic, které se dotýkají obou zadaných kružnic a mohou být řešením úlohy, leží na hyperbole. Jejími ohnisky jsou středy zadaných kružnic. Hyperbola prochází průsečíky obou kružnic.
Středy kružnic řešení leží v průsečících nalezené elipsy a hyperboly. Ne každý průsečík těchto křivek je však středem kružnice řešení – pouze ty, pro něž typ dotyku (vnější nebo vnitřní) ke společné kružnici odpovídá na obou křivkách.
Úloha má dvě řešení.

Zvolíme řídící kružnici kruhové inverze tak, aby její střed byl v zadaném bodě.
Obě zadané kružnice zobrazíme v kruhové inverzi.
Ve zvolené kruhové inverzi se kružnice řešení zobrazují jako společné tečny zobrazených kružnic.
Nalezené tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
Úloha má dvě řešení.

Kruhová inverze