Dvě kružnice bez dotyku, třetí je obě protíná
Počet řešení: 4
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Nejprve se zaměříme na jednu dvojici protínajících se kružnic. Středy kružnic řešení budou ležet na hyperbole a elipse. Ohnisky hyperboly i elipsy jsou středy obou zadaných kružnic. Obě křivky prochází průsečíky zadaných kružnic.
- Nyní najdeme množiny středů kružnic dotýkajících se druhé dvojice protínajících se kružnic. Středy kružnic řešení budou ležet opět na hyperbole a elipse. Ohnisky hyperboly i elipsy jsou středy zadaných kružnic a zároveň obě prochází průsečíky zadaných kružnic.
- Středy kružnic řešení leží v průsečících nalezených hyperbol a elips. Ne každý jejich průsečík je však středem kružnice řešení – jsou to pouze ty průsečíky, pro něž typ dotyku (vnější nebo vnitřní) ke společné kružnici odpovídá na obou křivkách.
- Úloha má čtyři řešení.
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Zvolíme řídící kružnici kruhové inverze tak, aby jejím středem byl některý z průsečíků kružnic.
- Zadané kružnice zobrazíme v kruhové inverzi. Protože střed řídící kružnice leží na průsečíku kružnic, zobrazí se dvě kružnice jako přímky.
- Nyní budeme v zobrazení řešit úlohu pro dvě přímky a kružnici. Tu si pomocí dilatace ještě dále upravíme. Kružnici dilatujeme do jejího středu. Přímky se potom posouvají o poloměr kružnice.
- Dilatací jsme dále úlohu upravili na úlohu s dvěma přímkami a bodem. Tu můžeme řešit například pomocí kruhové inverze. Jako řídící kružnici kruhové inverze využijeme kružnici, kterou již máme k dispozici. Kruhovou inverzí změníme na úlohu hledání společných tečen dvou kružnic. Tu vyřešíme. Nalezené tečny jsou obrazy dvou hledaných řešení. Nyní je musíme postupně zobrazit zpět.
- Nejprve je zobrazíme zpět v druhé kruhové inverzi. Tím jsme získali řešení pro úlohu dvě přímky a bod.
- Toto řešení dilatujeme zpět na řešení úlohy dvě přímky a kružnice.
- Nalezené kružnice invertujeme v původní kruhové inverzi a tím jsme získali první dvě kružnice řešení.
- Nyní se vraťme k zobrazení zadaných objektů v první kruhové inverzi. Opět je budeme dilatovat. Jen s tím rozdílem, že sečnu kružnice budeme dilatovat do opačné poloroviny. Dilatací jsme úlohu upravili na úlohu dvě přímky a bod.
- Úlohu pro dvě přímky a bod budeme dále řešit kruhovou inverzí. Střed řídící kružnice kruhové inverze umístíme do bodu. Úloha se zobrazí do úlohy hledání společných tečen dvou kružnic. Tu vyřešíme.
- Nalezené tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi. Tím máme řešení pro úlohu dvě přímky a bod.
- Zobrazené kružnice dilatujeme na řešení úlohy dvě přímky a kružnice.
- Dilatované kružnice zobrazíme v první kruhové inverzi. Tím získáme druhá dvě řešení úlohy.
- Úloha má čtyři řešení.