Dvě kružnice s vnitřním dotykem, třetí leží vně
Počet řešení: 2
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Nejprve najdeme středy kružnic dotýkajících se jedné dvojice zadaných kružnic. Středy kružnic řešení budou ležet na dvojici hyperbol. Ohnisky hyperbol jsou středy zadaných kružnic. K jejich narýsování potřebujeme znát alespoň jeden bod každé hyperboly. Narýsujeme přímku procházející středy zadaných kružnic a najdeme průsečíky této přímky s kružnicemi. Středy úseček daných nalezenými průsečíky jsou vrcholy hyperbol.
- Narýsujeme hyperboly s ohnisky ve středech zadaných kružnic a procházející nalezenými vrcholy.
- Nyní najdeme středy kružnic řešení dotýkajících se dvou zadaných kružnic s vnitřním dotykem. Kružnice řešení se těchto dvou kružnic budou dotýkat v jejich společném bodě dotyku. Středy takových kružnic leží na přímce procházející středy zadaných kružnic.
- Středy kružnic řešení leží v průsečících nalezených hyperbol a přímky. Ne každý průsečík je však středem kružnice řešení – pouze ty, pro něž typ dotyku (vnější nebo vnitřní) ke společné kružnici odpovídá na obou křivkách.
- Úloha má dvě řešení.
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Zvolíme řídící kružnici kruhové inverze. Její střed volíme v bodě dotyku zadaných kružnic.
- V kruhové inverzi zobrazíme zadané objekty. Kružnice procházející tečným bodem se zobrazí jako přímky.
- Kružnice řešení se v kruhové inverzi zobrazují jako tečny kružnice rovnoběžné s obrazy kružnic.
- Nalezené tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
- Úloha má dvě řešení.
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Společný tečný bod zadaných kružnic bude také bodem dotyku obou kružnic s kružnicemi řešení. Středy kružnic řešení proto budou ležet na přímce procházející středy zadaných kružnic a tečným bodem.
- Společná tečna dvou dotýkajících se kružnic bude také tečnou kružnic řešení.
- Ve stejnolehlostech, ve kterých se třetí zadaná kružnice zobrazuje na kružnice řešení, se společná tečna dvou kružnic zobrazuje na rovnoběžné tečny této kružnice. Středy stejnolehlostí jsou tečné body mezi třetí zadanou kružnicí a kružnicemi řešení.
- Protože se společná tečna dvou kružnic zobrazuje na rovnoběžné tečny třetí zadané kružnice, zobrazují se na sebe i tečné body tečen a kružnic. Středy stejnolehlostí leží proto na přímkách procházejících těmito tečnými body. Leží v průsečících těchto přímek se zadanou kružnicí.
- Nyní jsme nalezli všechny tečné body mezi kružnicemi zadání a řešení. Středy kružnic řešení leží na osách úseček daných tečnými body.
- Středy kružnic řešení leží v průsečících nalezených os a přímky procházející středy kružnic a tečným bodem.
- Úloha má dvě řešení.