Dvě protínající se kružnice leží uvnitř třetí
Počet řešení: 4
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Nejprve se zaměříme na dvojici protínajících se kružnic. Středy kružnic řešení budou ležet na hyperbole. Ohnisky hyperboly jsou středy zadaných kružnic a zároveň hyperbola prochází jejich průsečíky.
- Nyní podobně najdeme množiny středů kružnic dotýkajících se další dvojice kružnic. Středy kružnic řešení budou ležet na dvojici elips. Ohnisky elips jsou středy zadaných kružnic. K jejich narýsování potřebujeme znát alespoň jeden bod každé elipsy. Narýsujeme přímku procházející středy zadaných kružnic a najdeme průsečíky této přímky s kružnicemi. Středy úseček daných nalezenými průsečíky jsou vrcholy elips.
- Narýsujeme elipsy s ohnisky ve středech zadaných kružnic a procházející nalezemými vrcholy.
- Středy kružnic řešení leží v průsečících nalezených elips a hyperboly. Ne každý průsečík těchto křivek je však středem kružnice řešení – pouze ty, pro něž typ dotyku (vnější nebo vnitřní) ke společné kružnici odpovídá na obou křivkách.
- Úloha má čtyři řešení.
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Zvolíme řídicí kružnici kruhové inverze. Její střed zvolíme v průsečíku zadaných kružnic.
- V kruhové inverzi zobrazíme zadané objekty. Kružnice procházející středem řídicí kružnice se zobrazí jako přímky.
- V zobrazení budeme hledat kružnice dotýkající se dvou přímek a kružnice. Kružnice řešení této úlohy budou obrazy řešení původní úlohy. Středy hledaných kružnic budou ležet na ose úhlu daného dvěma přímkami.
- Dále využijeme čtyři stejnolehlosti, ve kterých se daná kružnice zobrazuje na kružnice řešení. V těchto stejnolehlostech se dané přímky zobrazují jako rovnoběžné tečny dané kružnice.
- Průsečíky daných přímek se zobrazují na průsečíky tečen. Spojíme je přímkami. Průsečíky těchto přímek s danou kružnicí jsou body, které jsou jednak středy stejnolehlostí a jednak tečnými body dané kružnice s kružnicemi řešení.
- Střed dané kružnice se ve stejnolehlostech zobrazuje do středů kružnic řešení. Tyto středy proto leží na přímkách procházejících středem dané kružnice a zároveň tečnými body. Středy hledaných kružnic jsou průsečíky těchto přímek s osou úhlu.
- Nalezli jsme čtyři řešení úlohy v zobrazení.
- Nalezené kružnice zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
- Úloha má čtyři řešení.