Tři kružnice bez společných bodů, dvě leží uvnitř třetí
Počet řešení: 8
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Nejprve najdeme středy kružnic dotýkajících se jedné dvojice zadaných kružnic. Středy kružnic řešení budou ležet na dvojici hyperbol. Ohnisky hyperbol jsou středy zadaných kružnic. K jejich narýsování potřebujeme znát alespoň jeden bod každé hyperboly. Narýsujeme přímku procházející středy zadaných kružnic a najdeme průsečíky této přímky s kružnicemi. Středy úseček daných nalezenými průsečíky jsou vrcholy hyperbol.
- Narýsujeme hyperboly s ohnisky ve středech zadaných kružnic a procházející nalezenými vrcholy.
- Nyní najdeme všechny středy kružnic dotýkajících se další dvojice zadaných kružnic. Tentokrát budou středy kružnic řešení ležet na dvojici elips. Ohnisky elips jsou středy zadaných kružnic. K jejich narýsování potřebujeme znát alespoň jeden bod každé elipsy. Narýsujeme přímku procházející středy zadaných kružnic a najdeme průsečíky této přímky s kružnicemi. Středy úseček daných nalezenými průsečíky jsou vrcholy elips.
- Narýsujeme elipsy s ohnisky ve středech zadaných kružnic a procházející nalezemými vrcholy.
- Středy kružnic řešení leží v průsečících nalezených hyperbol a elips. Ne každý průsečík těchto křivek je však středem kružnice řešení – pouze ty, pro něž typ dotyku (vnější nebo vnitřní) ke společné kružnici odpovídá na obou křivkách.
- Úloha má osm řešení.
Konstrukce v GeoGebře
Postup
- Při řešení úlohy použijeme dilataci, kdy budeme vždy zmenšovat nejmenší kružnici až na bod. Nejprve budeme hledat ta dvě řešení, která mají s oběma menšími kružnicemi vnější dotyk. Pokud si tato dvě řešení představíme a představíme si zmenšení nejmenší zadané kružnice do jejího středu, budou se řešení zvětšovat. Zbylé dvě kružnice musí měnit svou velikost tak, aby s řešeními zůstaly v kontaktu. Největší kružnice se musí zvětšit o poloměr nejmenší kružnice, prostřední kružnice se musí o poloměr zadané kružnice zmenšit. Tím jsme úlohu upravili na úlohu kružnice, kružnice, bod.
- Upravenou úlohu budeme řešit kruhovou inverzí. Za střed řídicí kružnice kruhové inverze použijeme střed nejmenší kružnice. Jako řídicí kružnici můžeme použít přímo zadanou kružnici. Konstrukce v zobrazení bude sice poměrně malá, máme však k dispozici zoom. V kruhové inverzi zobrazíme obě dilatované kružnice.
- Střed nejmenší kružnice se v kruhové inverzi zobrazil do nekonečna. Řešení úlohy se proto zobrazují jako společné tečny zobrazených kružnic.
- Nalezené tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
- Vidíme, že nalezené kružnice se dotýkají dilatovaných kružnic a procházejí středem nejmenší zadané kružnice. Jsou řešením upravené úlohy. Při zpětné dilataci však pouze dvě z těchto kružnic přejdou na řešení původní úlohy.
- Vybrané kružnice dilatujeme o poloměr nejmenší zadané kružnice. Nalezli jsme první dvě řešení úlohy.
- Nyní budeme hledat kružnice, které mají s nejmenší zadanou kružnicí vnitřní dotyk a s prostřední kružnicí vnější dotyk. V dilataci se bude prostřední kružnice zvětšovat a největší zmenšovat. Jak již bylo řečeno výše, nejmenší se bude vždy zmenšovat do bodu.
- Dilatované kružnice zobrazíme v kruhové inverzi.
- Nalezneme společné tečny zobrazených kružnic.
- Tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
- Zobrazené kružnice jsou řešením dilatované úlohy.
- Nalezená řešení dilatujeme zpět na řešení původní úlohy.
- Nyní budeme opakovat postup v situaci, kdy se budou dvě větší zadané kružnice dilatací zmenšovat.
- Dilatované kružnice zobrazíme v kruhové inverzi.
- Nalezneme společné tečny zobrazených kružnic.
- Tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
- Zobrazené kružnice jsou řešením dilatované úlohy. Při zpětné dilataci však pouze dvě z těchto kružnic přejdou na řešení původní úlohy.
- Vybraná nalezená řešení dilatujeme zpět na řešení původní úlohy.
- Nakonec budeme opakovat postup v situaci, kdy se budou dvě větší zadané kružnice dilatací zvětšovat.
- Dilatované kružnice zobrazíme v kruhové inverzi.
- Nalezneme společné tečny zobrazených kružnic.
- Tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
- Zobrazené kružnice jsou řešením dilatované úlohy. Při zpětné dilataci však pouze dvě z těchto kružnic přejdou na řešení původní úlohy.
- Vybraná nalezená řešení dilatujeme zpět na řešení původní úlohy.
- Úloha má osm řešení.